Bulanık Küme Kuramın Temel Kavramları

Bulanık Kümler:

Tanım 1: (bulanık küme) X evrensel tanım kümesi üzerinde A bulanık kümesi, X uzayından birim aralığa bir döünüşüm olan üyelik fonksiyonları ile tanımlanır:

.

F(X) ile X uzayındadaki tüm bulanık kümeler gösterilir.

Bulanık küme kuramı, bir elemanın bir kümeye kısmi üyeliğine olanak sağlar. Eğer üyelik derecesi olarak adlandırılan üyelik fonksiyonunun değeri bire eşitse x elemanı bulanık kümeye tamamen aittir. Eğer bu değer sıfır ise, x bulanık kümeye ait değildir. Eğer üyelik derecesi sıfır ile bir arasında ise x bulanık kümenin kısmi üyesidir. Bulanık küme literatüründe, genellikle kesin terimi bulanık olmayan büyüklükleri belirtmek için kullanılır. Örneğin; kesin sayı, kesin küme, vb.

Bulanık Fonksiyonlar:

X = {x_i | i=1,2, ..., n} ayrık kümesinde, A bulanık kümesi, (üyelik derecesi / küme elemanı) şeklindeki sıralı ikililerden oluşan bir liste ile gösterilebilir:

Bir başka gösterilim ise ilişkili iki vektör yapısıdır:

,

Sürekli tanım kümesinde ise bulanık kümeler bulanık fonksiyonları ile analitik olarak tanımlıdırlar. Bu üyelik fonksiyonlardan en çok kullanılanları şöyle gruplandırılabilir:

1. Yamuk üylik fonksiyonları:

burada a, b, c yamuğun uçlarının koordinatları göstermektedir. b = c olduğunda bir üçgen üyelik fonksiyonu elde edilir.

2. Parçalı üstel üyelik fonksiyonları:

burada c_l ve c_r , sağ ve sol desteği ve w_l , w_r ise sırasıyla sol ve sağ genişliği göstermektedir. c_l = c_r ve w_l = w_r için Gauss üyelik fonksiyonları elde edilir.

Temel Tanımlar:

Tanım 2: (a-kesim) A bulanık kümesinin A_a ile gösterilen a-kesimi, X uzayında üyelik dereceleri a’ya eşit veya büyük olan tüm elemanlarından oluşan kesin alt kümesidir:

Ayrıca a-kesim operatörü, a-kesim(A, a) şeklinde de gösterilir.

Tanım 3: (tam a-kesim) Her xÎA_a için ise A_a a-kesimi tamdır.

Tanım 4: (konveks bulanık küme) Ñⁿ de tanımlı olan bulanık kümenin her tüm a-kesimleri bir konveks küme ise bulanık küme de konvekstir.

Tanım 5: (destek) X uzayında tanımlı A bulanık kümesinin desteği, üyelik derecesi sıfırdan farklı olan tüm elemanlarının oluşturduğu kesin alt kümedir:

Tanım 6: (göbek) X uzayında tanımlı A bulanık kümesinin göbeği, üyelik derecesi bire eşit olan tüm elemanlarının oluşturduğu kesin alt kümedir:

Literatürde, A bulanık kümesinin göbeği bazen ker(A) olarak gösterilir.

Tanım 7: (kardinalite) şeklindeki A bulanık kümesinin kardinalitesi üyelik derecelerinin toplamı olarak tanımlıdır:

.

Tanım 8: (yükseklik) A bulanık kümesinin yüksekliği, elemanlarının üyelik değerlerinin supremumudur.

Tanım 9: (normal bulanık küme) Eğer için ise A bulanık kümesi normaldir. norm(A) operatörü bir bulanık kümenin normalizasyonudur.

Örneğin;

Bulanık Kümelerde Operasyonlar:

Klasik küme kuramındaki operasyonlar bulanık küme kuramına genişletilebilir. Çoğu zaman, bu genişletme için birçok yol bulunabilir. Aşağıda bulanık kümelerde kesişim, birleşim ve ters operasyonlarına ilişkin temel tanımlar bulunmaktadır.

Tanım 10: (bulanık kümelerin kesişimi) X uzayında A ve B iki bulanık küme olsun. A ve B kümelerinin kesişimi olan C bulanık kümesi şeklinde gösterilir öyle ki her xÎX için:

Minimum operatörü ayrıca “” ile de gösterilir. Örneğin;

Tanım 11: (bulanık kümelerin birleşimi) X uzayında A ve B iki bulanık küme olsun. A ve B kümelerinin kesişimi olan C bulanık kümesi şeklinde gösterilir öyle ki her xÎX için:

Maximum operatörü ayrıca “” ile de gösterilir. Örneğin;

İki bulanık kümenin bulanık kesişimi, birim aralıkta tanımlı ikili operasyon ile daha geniş olarak belirlenebilir. Örneğin;

formundaki bir fonksiyon. i fonksiyonun bulanık kesişim olarak nitelendirilebilmesi için bazı özelliklere sahip olması gerekir. t-norm olarak bilinen fonksiyonlar kesişim için gerekli olan bu özelliklere sahiptirler. Benzer şekilde t-conorm olarak adlandırılan fonksiyonlar da bulanık birleşim için kullanılabilirler.

Tanım 12: (t-norm / bulanık kesişim) Bir t-norm i, her a, b, c Î [0, 1] için en azından aşağıdaki aksiyomlerı sağlayan birim aralıkta tanımlı bir ikili operasyondur:

Sıkça kullanılan t-normlar ise:

standart kesişim:

(cebirsel) çarpım:

Lukasiewicz kesişimi:

Tanım 13: (t-conorm / bulanık birleşim) Bir t-conorm u, her a, b, c Î [0, 1] için en azından aşağıdaki aksiyomlerı sağlayan birim aralıkta tanımlı bir ikili operasyondur:

Sıkça kullanılan t-normlar ise:

standart birleşim:

(cebirsel) toplam:

Lukasiewicz birleşimi:

Tanım 14: (bir bulanık kümenin tersi) X uzayında A bir bulanık küme olsun. A bulanık kümesinin tersi ile gösterilir ve her xÎX için aşağıdaki gibi tanımlıdır:

Bulanık Bağıntılar:

Tanım 15: (bulanık bağıntı) Bir bulanık bağıntı

gibi bir dönüşümdür. Bu dönüşüm, kartezyen çarpımından tüm n-elemanlısına üyelik derecesi atar.

Aslında, bir bulanık bağıntı kartezyen çarpımındaki bir bulanık kümedir. Üyelik dereceleri, farklı X_i tanım uzayındaki elemanlar arasındaki ilişki (korelasyonu) derecesini ifade eder. Örneğin; R bulanık bağıntısı (“x yaklaşık olarak y’ye eşittir”) ilişkisini şeklindeki üyelik fonksiyonuyla ifade etsin.

İzdüşüm ve Silindirik Genişleme:

Tanım 16: (n boyutlu uzay) X⁽ⁱ⁾, i =1, 2, ..., n, , boş olmayan tanım kümelerinin bir ailesi, n boyutlu bir uzay olarak adlandırılır. bu uzaya ilişkin indeks kümesidir. Herhangi bir boş olmayan indeks altkümesi için çarpım uzayı

şeklinde tanımlanır. çarpım uzayı kısaca X ile gösterilir. Bir bulanık küme çok boyutlu uzayda tanımlandığında çok boyutlu bulanık küme olarak adlandırılır.

Kaynak:

Babuska, R., Fuzzy Modeling for Control, Kluwer Academic Publisher,1998.