KULLANILAN PROGRAMLARA İLİŞKİN FORMÜLASYONLAR
I. Temel Ödev Çözümü
Programda kullanılan Vincenty yöntemine ait formülasyon ve sembollere ilişkin açıklamalar aşağıdaki gibidir :
TanU1 = (1-f) Tan f1
Tans1=
TanU1 / Cosa12
Sina = CosU1
Sina12
u2 = cos2a(a2-b2)
/ b2
A = 1 + (u2/16384)
{4096 + u2[-768+ u2 (320-175u2)]}
B = (u2/1024) {256
+ u2[-128+ u2 (74-47u2)]}
s =
(s/bA)
yaklaşımıyla;
aşağıdaki 3 eşitlik, s
değerinin
değişimindeki fark önemsiz bir hale gelene kadar iterasyona sokulur.
2sm = 2s1 + s Ds
= BSins {Cos2sm + (B/4) [Coss (-1+2Cos22sm)-(B/6) Cos2sm (-3+4Sin2s) (-3+4Cos22sm)]}s
= (s/bA) + Ds
Daha
sonra;
Tanf2 = (Sin U1 Coss + Cos U1
Sins Cosa12) / {(1-f)[Sin2a+(SinU1Sins -CosU1Coss Cosa12)2]½}
Tanl = (Sins Sina12) / (CosU1Coss - SinU1SinsCosa12)
C = (f/16)Cos2a [4 + f
(4 -3Cos2a)]
w = l - (1-C)
f Sina{s+CSins [Cos2sm+CCoss (-1+2Cos22sm)]}
l2 = l1 + w
Tana21 = (Sina) /
(-SinU1Sins + CosU1CossCosa12)
eşitlikleri ile sonuç elde edilir.
f1 :
1. Noktanın
enlemi
l1 : 1. Noktanın boylamı
a12 : 1. Noktadan 2. noktaya azimut
s : Noktalar arasındaki elipsoidal
mesafe
f : Elipsoidin basıklığı
a : Elipsoidin büyük yarı ekseni
b : Elipsoidin küçük yarı ekseni
f2 :
2. Noktanın
enlemi
l2 : 2. Noktanın boylamı
a21 : 2. Noktadan 1. noktaya azimut
II. Temel Ödev Çözümü
Programda kullanılan Vincenty yöntemine ait formülasyon ve sembollere ilişkin açıklamalar aşağıdaki gibidir :
TanU1 = (1-f) Tanf1
TanU2 = (1-f) Tanf2
l = w = l2 - l1
yaklaşımından hareketle;
aşağıdaki eşitlikler l’nın değişimindeki fark önemsiz oluncaya kadar iterasyona
sokulur.
Sin2s =
(CosU2 Sinl)2 + (CosU1 SinU2 – SinU1CosU2Cosl)2
Coss = SinU1SinU2
+ CosU1CosU2 Cosl
Tans = Sins / Coss
Sina = CosU1CosU2
Sinl / Sins
Cos2sm = Coss -
(2SinU1SinU2 / Cos2a)
C = (f/16) Cos2a[4+f (4-3Cos2a)]
l = w +
(1-C)f Sina{s + C
Sins [Cos2sm + C Coss (-1 +
2Cos22sm)]}
Daha
sonra;
u2 = cos2a(a2-b2)/b2
A = 1 + (u2/16384)
{4096 + u2[-768+ u2 (320-175u2)]}
B= (u2/1024) {256
+ u2[-128+ u2 (74-47u2)]}
Ds =
BSins {Cos2sm + (B/4) [Coss (-1+2Cos22sm)- (B/6)Cos2sm (-3 + 4Sin2s) (-3+4Cos22sm)]}
s = bA(s - Ds)
Tana12 = (CosU2 Sinl) /
(Cos U1 SinU2 – SinU1CosU2 Cosl)
Tana21 = (CosU1 Sinl) /
(-Sin U1 CosU2 + Cos U1 SinU2 Cosl)
elde edilir.
f1 :
1. Noktanın
enlemi
f2 :
2. Noktanın
enlemi
l1 : 1. Noktanın boylamı
l2 : 2. Noktanın boylamı
f : Elipsoidin basıklığı
a : Elipsoidin büyük yarı ekseni
b : Elipsoidin küçük yarı ekseni
a12 : 1. Noktadan 2. noktaya azimut
a21 : 2. Noktadan 1. noktaya azimut
s : Noktalar arasındaki elipsoidal
mesafe
Kartezyen-Coğrafik Koordinatlar
Dönüşümü
Kartezyen koordinatlardan coğrafi koordinatların hesabı ve h’nin iterasyonunu
gerektirir.
Boylam değeri ;
λ = arctan ( Y / X)
eşitliğinden kolayca bulunur. h << N olup , ilk aşama için h = 0 alınırsa;
ve h’nin iterasyonu
ile coğrafi koordinatlar elde edilir.
Coğrafi koordinatlardan kartezyen koordinatların hesabı :
X = N cos cosλ
Y = N cos sinλ
Z = (1 – f)2 N sin
Burada N değeri yine yukardaki gibi ;
ile hesaplanabilir. Sonuç formülasyon :
X = (N+h) cos cosλ
Y = (N+h) cos sinλ
Z = ((1 – f)2 N + h) sin
a : Elipsoidin büyük yarı ekseni
f : Elipsoidin basıklığı
N : Meridyen normalinin eğrilik yarıçapı
X, Y, Z: Noktanın
kartezyen koordinat bileşenleri
f : Noktanın enlemi
l : Noktanın boylamı
h : Noktanın elipsoit yüksekliği
Coğrafik – UTM Koordinatlar
Dönüşümü ve Tersi
Coğrafi ve grid dönüşümlerini yapmak için gerekli formülasyonlar :
Öncelikli hesaplamalar:
Meridyen mesafesi hesabı
m = a(1-e2)[1-(e2sin2f)]-3/2df
formülüyle yapılabileceği gibi, seri açılım kullanmak daha etkili olacaktır.
m = a{A0f -A2Sin2f+A4Sin4f -A6Sin6f}
A0 = 1- (e2/4)-(3e4/64)-(5e6/256)
A2 = (3/8)(e2+e4/4+15e6/128)
A4 = (15/256)(e4+3e6/4)
A6 = 35e6/3072
Ayak noktası enlemi (f' ):
G = a (1-n)(1-n2)(1+(9/4)n2+(225/64)n4)(p/180)
s = (mp)/(180G)
f'=s+((3n/2)-(27n3/32))Sin2s
+((21n2/16)-(55n4/32))Sin4s+(151n3/96)
Sin6s+(1097n4/512)Sin8s
Eğrilik yarıçapı :
r
= a(1-e 2)
/ (1-e2Sin2f)3/2
n = a / (1-e 2Sin2f)1/2
y = n /
r
Coğrafi koordinatlardan düzlem koordinatlarının hesabı :
t
= Tan f
w= l-l0
E'
= (K0nwCosf ){1
+ Term1 + Term2 + Term3 }
Term1
= (w2/6)Cos2f (y-t2)
Term2
=(w4/120)Cos4f[4y3(1-6t2)+y2(1+8t2)-y2t2+t4]
Term3
= (w6/5040)Cos6f(61-479t2+179t4-t6)
E = E ' + 500 000
N'
= K0{m + Term1 + Term2 + Term3 + Term4 }
Term1
= (w2/2
)nSinf Cosf
Term2
= (w4/24)nSinf Cos3f(4y2+y-t2)
Term3 = (w6/720)nSinf Cos5f[8y4(11-24t2)-28y3(1-6t2) +y2
(1-32t2)-y(2t2)+t4]
Term4
= (w8/40320)nSinf Cos7f (1385-3111t2+543t4-t6)
N = N' + 0
Meridyen
yakınsama açısı :
g = Term1 + Term2 + Term3 +
Term4
Term1
= -wSinf
Term2
= -(w3/3)SinfCos2f (2
y2-y )
Term3
= -(w5/15)SinfCos4f[y4(11-24t2)-y3(11-36t2)+2y2(1-7t2)+yt2]
Term4
= -(w7/315)SinfCos6f(17-26t2+2t4)
Haritalama
ölçeği :
k = K0 + K0 Term1 + K0 Term2 + K0 Term3
Term1 = (w2/2) y Cos2 f
Term2 = (w4/24) Cos4f[4y3(1-6t2) + y2(1+24t 2) - 4y t2]
Term3 = (w6/720) Cos6f (61-148t2+16t4)
Düzlem koordinatlardan coğrafi koordinatların hesabı :
E'
= E – 500 000
x
= E' / (K0n')
f
= f' - Term1 + Term2 - Term3 + Term4
Term1
= (t' / (K0r'))
(xE' / 2 )
Term2
= ( t' / (K0r')) (E'x3 / 24 ) [-4y'2
+ 9y' (1-t'2) +12t'2 ]
Term3=(t'/(K0r')) (E'x5 ) / 720) [ 8y'4 (11-24t'2 )
-12y'3 (21-71t'2)
+15y'2 (15-98t'2
+15t'4 ) +180y' ( 5t'2-3t'4
) +360t'4 ]
Term4
= (t'/(K0r'))(E'x7/40320)(1385+3633t'2+4095t'4+1575t'6)
w = Term1 - Term2 + Term3 -
Term4
Term1
= x Secf'
Term2
= (x3/6) Secf' (y'
+2t'2)
Term3
= (x5/120) Secf' [-4y'31-6t'2
) + y'2 ( 9-68t'2 ) +72y't'2
+24t'4 ]
Term4
= (x7/5040) Secf' (61+662t'2 +1320t'4
+ 720t'6 )
l
= l0 +
w
Meridyen
yakınsama açısı :
x = E'/K0n'
t' = Tanf'
g = Term1 + Term2 + Term3 + Term4
Term1 = -t' x
Term2 = (t' x3/3 ) (-2y'2+3y' +t'2 )
Term3=(-t' x5 /15 )[y'4 (11-24t'2 )-3y'3 (8-23t'2 )+5y'2 (3-14t'2)+30y't'2 +3t'4 ]
Term4 = (t' x7 / 315 ) ( 17+77 t'2+ 105t'4 +45t'6 )
f : Enlem
l : Boylam
a : Elipsoidin büyük yarı ekseni
b : Elipsoidin küçük yarı ekseni
f : Elipsoidin basıklığı
e : Elipsoidin birinci dış merkezliliği
E : Sağa değer
N : Yukarı değer
g : Meridyen
yakınsama açısı
k : Haritalama ölçeği
K0 : Küçültme faktörü
Datum Dönüşümü Hesabı
Datum dönüşümü ile ilgili temel formülasyon aşağıdaki gibidir :
Yukardaki formülde, Harita Genel Komutanlığı tarafından belirlenen dönüşüm parametreleri aşağıdaki gibidir:
WGS-84’den ED-50’ye dönüşüm parametreleri :
X ekseni etrafındaki dönüklük |
εX =
0.0183" |
Y ekseni etrafındaki dönüklük |
εY = -0.0003" |
Z ekseni etrafındaki dönüklük |
εZ = 0.4738" |
X ekseni yönündeki öteleme |
tX =
84.003 m |
Y ekseni yönündeki öteleme |
tY = 102.315 m |
Z ekseni yönündeki öteleme |
tZ = 129.879 m |
Ölçek |
k
= -1.0347 |
ED-50’den WGS-84’e dönüşüm parametreleri :
X ekseni etrafındaki dönüklük |
εX =
- 0.0183" |
Y ekseni etrafındaki dönüklük |
εY = 0.0003" |
Z ekseni etrafındaki dönüklük |
εZ = - 0.4738" |
X ekseni yönündeki öteleme |
tX =
- 84.003 m |
Y ekseni yönündeki öteleme |
tY = - 102.315 m |
Z ekseni yönündeki öteleme |
tZ = -129.879 m |
Ölçek |
k = 1.0347 |
Julian Günü, GPS
Haftası Hesabı
Julian gününün (JD) hesabı için gerekli formülasyon ;
yıl için Y, ay için M, gün için D ve saat için UT kullanılırsa
JD=INT [365.25*y] + INT [30.6001* (m+1)] + D + UT/24 + 1720981.5
y = Y-1 ve m = M+12 eğer M ≤ 2
y = Y ve m = M eğer M > 2
formülasyonu ile hesaplanabilir. Julian gününden tarihi hesaplamak için ise aşağıdaki adımlar kullanılabilir :
a = INT [JD + 0.5]
b = a + 1537
c = INT [(b-122.1)/365.25 ]
d = INT [365.25 * c ]
e = INT [(b – d) / 30.6001 ]
D = b – d – INT [30.6001*e] + FRAC [JD + 0.5 ]
M = e – 1 – 12*INT [e/14]
Y = c – 4715 – INT [(7 + M)/10 ]
Haftanın gününü hesaplamak için mod 7’ ye göre aşağıdaki formül kullanılabilir :
N = modulo {INT[JD + 0.5 ] , 7 }
GPS haftası ise aşağıdaki bağıntı ile elde edilebilir :
HAFTA = INT [(JD – 2444244.5)/7]